Pensierini base su matematiche avanzate (e web culturale)

E' una domanda che si pone ancora oggi un mio dotatissimo amico, importante studioso di informatica grafica che domina una matematica già assolutamente inavvicinabile non solo per chi ha preparazione da liceo scientifico ma anche per il tipico bravo laureato in informatica. Infatti, come lo studente di informatica "non vede più le cose" quando si inizia a fare sul serio un poco di algebra o analisi, così il mio amico si perde quando la geometria differenziale diventa tosta. E non si tratta solo di numerose e interconnesse conoscenze specifiche, che ovviamente non sono raggiungibili se non dopo lungo studio, ma proprio della consapevolezza di non riuscire a pensare in quel modo, di non "vedere". 

Questa cecità di solito si ribalta in equamente ripartite adorazione e frustrazione, ovvero si acquista un profondo rispetto per chi "è benedetto" dalla matematica (senza con ciò cedere alla cattiva mitologia del "genio coi capelli arruffati") e si prova serena vergogna per quanto si è stupidini; nei casi migliori si cerca inoltre, con grande sforzo, di spostare un poco avanti l'orizzonte delle proprie abilità.

La sensazione è che il grande matematico non solo disponga di maggiori conoscenze di dettaglio ma riesca a cogliere (se non, nei casi degli scopritori di teoremi, a "creare") i legami, le interconnessioni, i rapporti che sfuggono agli "altri" e sono irriducibili alla quantità di nozioni singole assimilate. E quando vedi il matematico che entra nel tuo campo scientifico di ricerca, e ti dipana nodi concettuali con imbarazzante sicurezza (e neanche tirandosela, contento solo di essere utile), la sensazione si trasforma in certezza...

Ma ora basta con il mio impressionismo, veniamo a leggere alcuni punti importanti della risposta che un utente anonimo, certo un matematico di vaglia se non sommo, fornisce al quesito su Quora (tra l'altro, in forma diversa riprende anche l'ultima mia considerazione qui sopra). Naturalmente ne consiglio con calore la lettura integrale e meditata.

Si può rispondere a molte domande apparentemente difficili in fretta. Non sei molto impressionato da quello che può apparire come magia, perché conosci il trucco. Il trucco è che il tuo cervello può decidere rapidamente se alla domanda si può rispondere con uno delle poche potenti "general purpose 'machines'" [e qui continua nominando appunto tecniche matematiche avanzate] combinate con fatti specifici che hai imparato su di una certa area.

Qui non si sta dicendo semplicemente che la matematica è il linguaggio comune della scienza, poiché, insegna Galileo, il libro della natura è scritto in lingua matematica, ma che una padronanza delle matematiche avanzate rimuove lo stupore di fronte ai risultati magici; grazie alla padronanza di potenti astrazioni/generalizzazioni matematiche e alla conoscenza di singoli fatti specifici, si va subito al centro dell'argomento, svelando l'impenetrabile magia nel "trucco" che l'ha prodotta.

Si è spesso convinti che qualcosa sia vero molto prima di averne una prova definitiva (succede soprattutto in geometria). Il motivo principale è che si ha un ampio catalogo di collegamenti tra concetti, e si può subito intuire che se X dovesse essere falsa ciò creerebbe tensioni con le altre cose che si conoscono come vere, così si è propensi a credere che X è probabilmente vera per mantenere l'armonia dello spazio concettuale. Non è tanto che si può immaginare perfettamente la situazione, ma si possono rapidamente immaginare molte altre cose che sono logicamente collegate.

Queste considerazioni sul sistema e su come un elemento "debba" rientrare in uno spazio concettuale per non turbare il tutto (scusate se banalizzo oltre la decenza), sono perfettamente spiegate nell'influentissimo Two Dogmas of Empiricism (1948)di William Quine. Si noti come il matematico non escluda la falsità della cosa, ma insista su come essa porterebbe a ristrutturare tutto il campo d'indagine.

Senza approfondire i vari legami culturali di questo "olismo", rilevo solo come questo punto potrebbe - poniamo - essere espresso da un filologo italiano che debba valutare se un certo ritrovato testo sia attribuibile a Dante (come appunto è successo con Il Fiore) o da un archeologo che debba datare e situare un reperto. Anche prima di avere tutte le conferme, si comprende che per non turbare troppo il sistema intero il singolo pezzo deve o non deve rientrare in esso.

Il tuo pensiero intuitivo di un problema è produttivo e utilmente strutturato, sprecando poco tempo nell'essere perplesso senza scopo. Per esempio, quando rispondi a una domanda su uno spazio a molte dimensioni (ad esempio, se un certo tipo di rotazione di un oggetto a cinque dimensioni ha un "punto fisso" che non si muove durante la rotazione), non sprechi tempo nel tentativo di visualizzare quelle cose che non hanno analogie evidenti in due e tre dimensioni. (La violazione di questo principio è una grande fonte di frustrazione per i principianti di matematica che non sanno che non dovrebbero sforzarsi di visualizzare cose per le quali non hanno l'"attrezzatura di visualizzazione"). E invece...

Questo punto inizia, giustamente, a essere un poco più tecnico e come vedete demolisce la stessa metafora del "vedere" adottata dai sotto-matematici (come lo scrivente) per spiegare l'inadeguatezza della propria comprensione. O meglio il "vedere" come metafora si mantiene, a patto di avere la maturità concettuale di non pretendere di vedere con la propria limitata strumentazione cose che non sono banalmente "analoghe". A uno stadio molto elevato, si recupera però questo "approssimare" ma solo se è inteso come intenzionale scorciatoia, presa non per incapacità ma per meglio concentrarsi. Cito ancora brevemente altri due punti.

Sei facilmente infastidito dall'imprecisione in campo quantitativo o logico. Ciò accade perché sei abituato a pensare rapidamente controesempi che trasformano un'affermazione inesatta in ovviamente falsa.
D'altra parte, sei a tuo agio con imprecisioni intenzionali o con il 'fare cenni' in un campo che conosci, perché sai come riempire i dettagli. Terence Tao è molto eloquente su questo qui.

Vi lascio alla lettura dei rimanenti punti, dove ancora una volta potrete valutare quanto le considerazioni espresse abbiano attinenza con altri campi di ricerca; ad esempio quando pare ripetere il noto concetto che le faticose conquiste di ieri diventano il banale blocco di composizione di oggi si sta appunto enunciando un'esperienza comune ad altre arti, tecniche e scienze o la concentrazione sulle astrazioni di livello sempre più alto, che appunto costituiscono i "blocchi" per il grande matematico, rende fuorviante la trasposizione in (quasi) tutti gli altri campi? E, in generale, l'"aria di famiglia" che si sente, pur nella loro singolarità, tra queste considerazioni e altre riflessioni di maestri nella loro arte (sia essa la filologia romanza, la composizione musicale, la fisica teorica ecc...), è inevitabile ma non troppo significativa somiglianza, o la padronanza di un campo produce spesso, in forme certo diverse e con consapevolezza esplicita certo diversa, molti "effetti" analizzati dal matematico su Quora?

Con il nome di Terence Tao passo quindi a mostrare velocemente alcuni rapporti tra Internet e matematica. Ora voi non fate l'errore di andare a visitare il blog di quel genio (qui l'epiteto è dovuto e le virgolette vanno tolte) onorato di Fields Medal e di tantissimi altri prestigiosi premi, credendo di trovare solo piani testi introduttivi come quello linkato su Quora.

Sarete infatti sommersi da "articoli di ricerca" sotto forma di post, impenetrabili per voi come per molti professori universitari di matematica (LaTex rulz, tra parentesi). Tao collabora pure al progetto di un'altra Fields Medal, Timothy Gowers, Tricki dedicato alle varie tecniche di problem solving, dove si trovano molti materiali anche introduttivi (per chi fa seriamente matematica, è ovvio; lo stesso Gowers ammette però che il sito non è decollato).

Gowers, oltre ad aver lanciato il progetto di "matematica collaborativa" su Internet Poymath, ha un blog, dove, confermando la sua fama di grande autore didattico, tratta spesso in maniera (relativamente) "dolce" di difficili concetti matematici. E se guardate i blogroll dei due studiosi appena nominati troverete un'altra quantità di siti specialistici. Infine, ovviamente, i paper di ricerca sono quasi sempre disponibili su arXiv.

Voglio così sottolineare ancora una volta che dal livello più basso, che non è basso affatto, ovvero dalle sempre ottime voci Wikipedia inglese sulla matematica e dai blog di divulgazione, agli ormai leggendari corsi on line del M.I.T, ai paper di ricerca di arXiv, ai siti come quello di Tao dove la matematica più avanzata al mondo si dipana nel suo farsi quotidiano, tutto è liberamente conoscibile (e spesso commentabile e in una certa misura partecipabile).

Basta sapere un po' di inglese - perché come si imparano decine di simboli matematici così si può imparare quel po' di grammatica e quel migliaio o poco più di parole che servono per legger di matematica in inglese - e avere una connessione Internet. Di lì solo la passione e il talento di ognuno indicheranno dove fermarsi. Ovviamente un tale approccio può dare ottimi frutti per i più dotati anche in completa autonomia ("autodidatta"), ma è straordinario aiuto soprattutto per chi, a vario livello, segua (o abbia seguito) corsi di studio specifici.

Questa rivoluzione, organizzazione e democratizzazione, del sapere attraverso Internet è oggi talmente pervasiva da apparire come scontata, e non viene quindi sempre apprezzata come dovrebbe (a cominciare appunto da Wikipedia, tutti gli anni costretta a mostrarci il faccione di Jimmy Wales per la raccolta fondi).


Infine, e trovo la cosa talmente spassosa da chiuderci opportunamente in commedia questo noioso post, mentre la situazione che ho descritto per la matematica si ripete con molte altre scienze, a cominciare dalla fisica e dall'informatica, vi è ancora, in vari contesti e soprattutto in Italia, una certa chiusura per le discipline umanistiche, dove un giurista, economista, storico della filosofia, professore di letteratura italiana di quart'ordine che insegna in Università di peracottari conserva i suoi articoli tessori gelosamente offline, perché davvero il pubblico non può godere liberamente in pdf di tanto alto sapere...
 

[l'immagine d'apertura l'ho trovata in un recente post di Paul Krugman e come lui anch'io cercavo disperatamente una scusa per condividerla!]

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