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Dimostrazioni a conoscenza zero e crittografia
27 maggio, di .mau.
Qualche mese fa vi avevo raccontato (qui, qui, e qui) delle dimostrazioni a conoscenza zero. Per chi non si ricorda e non ha voglia di tornare a leggere quei post, rispiego in poche parole di che cosa si tratta: è possibile “dimostrare” di conoscere la risposta a un problema complesso senza presentare la soluzione, ma rispondendo semplicemente a una serie di domande. Il punto fondamentale è che la risposta a ogni singola domanda non dà all’interlocutore nessuna informazione oltre al fatto che abbiamo risposto correttamente alla domanda. C’è sempre la possibilità che noi in realtà la risposta non la sappiamo e siamo stati fortunati: ma visto che l’interlocutore può farci quante domande vuole quella probabilità è piccola a piacere. Un esempio pratico. Sappiamo che ogni mappa planare può essere colorata con quattro colori in modo che due regioni confinanti non abbiano mai lo stesso colore. Ci sono però mappe per cui bastano tre colori: ma data una mappa dimostrare che questo è possibile è un problema spesso intrattabile. Immaginate però che io abbia trovato in qualche modo che una data mappa richiede solo tre colori, e ti voglia vendere la struttura. Voi non volete pagare senza aver visto la colorazione; io non voglio mostrarvi la colorazione prima di essere pagato altrimenti me la copiate e basta. Come si fa? Semplice (quando si sa il trucco)! Io scelgo a caso i tre colori con cui colorare la mappa e poi la copro. Tu mi indichi due regioni confinanti, io scopro solo quelle due regioni e mostro che hanno colore diverso. Certo: se avessi colorato la mappa a caso, avrei comunque mostrato due colori diversi in due casi su tre. Ma io posso fare una nuova colorazione, sempre casuale, e farti scegliere altre due regioni confinanti, diverse o le stesse non importa: di nuovo io ti mostro che hanno colori diversi. A questo punto la probabilità che io abbia avuto fortuna per due volte di fila scende a 1/9, e andando avanti calerà ancora di più; inoltre, proprio perché i colori in ciascuna richiesta sono casuali, non ho la possibilità di fare dei confronti.

Il problema di questo tipo di dimostrazioni è che sono interattive: tu domandi e io rispondo. Nel 1994 i crittografi Oded Goldreich e Yair Oren dimostrarono che è impossibile costruire una dimostrazione completatamente non interattiva che sia a conoscenza zero, come indicato sopra e definito formalmente da Shafi Goldwasser, Silvio Micali e Charles Rackoff. Fine della storia? A quanto pare no. Rahul Ilango ha messo sotto attento scrutinio la dimostrazione di Goldreich e Oren, e ha notato che dipende dal fatto che per avere una dimostrazione a conoscenza zero tu “sai” cosa io ti dirò (che cioè le due regioni sono colorate diversamente). Il termine tecnico per questo fatto è “esiste un simulatore”. Qui entra in scena Gödel, o meglio Ilango. Cosa succede se ti dico che esiste un simulatore, ma tu non sei in grado di trovarlo? Tecnicamente la dimostrazione di Goldreich e Oren regge: il simulatore esiste. Ma praticamente tu non puoi “sapere” qual è il simulatore, quindi la dimostrazione può essere non interattiva. In pratica (si fa per dire…) non diciamo più “questa mappa può essere colorata con tre colori”, ma “questa mappa può essere colorata con tre colori, se non esiste un metodo efficiente di dimostrare che la matematica non è contraddittoria”. Visto che non possiamo essere certi al 100% che la matematica non è contraddittoria, non possiamo essere certi al 100% che la dimostrazione non abbia un simulatore, e quindi abbiamo il diritto di non applicare il teorema di Goldreich e Oren. Se vi si è annodato il cervello, tranquilli: siete in buona compagnia.

Quello che mi lascia più stupito è lo sfruttare una limitazione a priori della conoscenza matematica per avanzare la conoscenza matematica stessa: un doppio salto mortale carpiato.
Dimostrazioni a conoscenza zero e crittografia
27 maggio, di .mau.
Qualche mese fa vi avevo raccontato (qui, qui, e qui) delle dimostrazioni a conoscenza zero. Per chi non si ricorda e non ha voglia di tornare a leggere quei post, rispiego in poche parole di che cosa si tratta: è possibile “dimostrare” di conoscere la risposta a un problema complesso senza presentare la soluzione, ma rispondendo semplicemente a una serie di domande. Il punto fondamentale è che la risposta a ogni singola domanda non dà all’interlocutore nessuna informazione oltre al fatto che abbiamo risposto correttamente alla domanda. C’è sempre la possibilità che noi in realtà la risposta non la sappiamo e siamo stati fortunati: ma visto che l’interlocutore può farci quante domande vuole quella probabilità è piccola a piacere. Un esempio pratico. Sappiamo che ogni mappa planare può essere colorata con quattro colori in modo che due regioni confinanti non abbiano mai lo stesso colore. Ci sono però mappe per cui bastano tre colori: ma data una mappa dimostrare che questo è possibile è un problema spesso intrattabile. Immaginate però che io abbia trovato in qualche modo che una data mappa richiede solo tre colori, e ti voglia vendere la struttura. Voi non volete pagare senza aver visto la colorazione; io non voglio mostrarvi la colorazione prima di essere pagato altrimenti me la copiate e basta. Come si fa? Semplice (quando si sa il trucco)! Io scelgo a caso i tre colori con cui colorare la mappa e poi la copro. Tu mi indichi due regioni confinanti, io scopro solo quelle due regioni e mostro che hanno colore diverso. Certo: se avessi colorato la mappa a caso, avrei comunque mostrato due colori diversi in due casi su tre. Ma io posso fare una nuova colorazione, sempre casuale, e farti scegliere altre due regioni confinanti, diverse o le stesse non importa: di nuovo io ti mostro che hanno colori diversi. A questo punto la probabilità che io abbia avuto fortuna per due volte di fila scende a 1/9, e andando avanti calerà ancora di più; inoltre, proprio perché i colori in ciascuna richiesta sono casuali, non ho la possibilità di fare dei confronti.

Il problema di questo tipo di dimostrazioni è che sono interattive: tu domandi e io rispondo. Nel 1994 i crittografi Oded Goldreich e Yair Oren dimostrarono che è impossibile costruire una dimostrazione completatamente non interattiva che sia a conoscenza zero, come indicato sopra e definito formalmente da Shafi Goldwasser, Silvio Micali e Charles Rackoff. Fine della storia? A quanto pare no. Rahul Ilango ha messo sotto attento scrutinio la dimostrazione di Goldreich e Oren, e ha notato che dipende dal fatto che per avere una dimostrazione a conoscenza zero tu “sai” cosa io ti dirò (che cioè le due regioni sono colorate diversamente). Il termine tecnico per questo fatto è “esiste un simulatore”. Qui entra in scena Gödel, o meglio Ilango. Cosa succede se ti dico che esiste un simulatore, ma tu non sei in grado di trovarlo? Tecnicamente la dimostrazione di Goldreich e Oren regge: il simulatore esiste. Ma praticamente tu non puoi “sapere” qual è il simulatore, quindi la dimostrazione può essere non interattiva. In pratica (si fa per dire…) non diciamo più “questa mappa può essere colorata con tre colori”, ma “questa mappa può essere colorata con tre colori, se non esiste un metodo efficiente di dimostrare che la matematica non è contraddittoria”. Visto che non possiamo essere certi al 100% che la matematica non è contraddittoria, non possiamo essere certi al 100% che la dimostrazione non abbia un simulatore, e quindi abbiamo il diritto di non applicare il teorema di Goldreich e Oren. Se vi si è annodato il cervello, tranquilli: siete in buona compagnia.

Quello che mi lascia più stupito è lo sfruttare una limitazione a priori della conoscenza matematica per avanzare la conoscenza matematica stessa: un doppio salto mortale carpiato.

Ultimo aggiornamento: 2026-05-29 16:11
Ah, questa sesta minore
26 maggio, di .mau.
Come sapete, io canto in un coro. Ieri sera abbiamo cominciato a studiare il Magnificat di Vivaldi, e tanto per cambiare ero l’unico basso. Nulla di veramente grave, in genere io leggo a prima vista. Solo che qui dovevo prendere un intervallo ascendente di sesta minore che non mi veniva proprio. Con la sesta maggiore ho il trucco, il “Libiamo” della Traviata; qui nulla. Che faccio, allora? Chiedo a Claude se mi trova un esempio sul canone beatlesiano. Lui mi risponde “certo! Prendi l’inizio di Michelle, Mi-Chelle!” al che gli faccio notare che lì la nota è la stessa. Al limite puoi pensare all’intro di chitarra, ma non è banale. Mi tira fuori anche un brano non beatlesiano che però non conosco. Allora lo presso, dicendogli che tanto se sbaglia me ne accorgo. Risultato: ho rotto Claude. Continuava a dirmi “questa risposta non è stata caricata”; a un certo punto ha persino tirato fuori un improbabile “blocked by filter polict ” e quando gli ho chiesto che razza di filtro avessi toccato la candida risposta è stata “Nessun filtering, scusa — stavo semplicemente girando in tondo tra candidati senza commettermi, il che è peggio che dare una risposta imperfetta.” (Notate il “commettermi”: non credo di aver mai sentito la traslitterazione di commit neppure dai più sfegatati anglofili).
Solo alla fine ha tirato fuori l’inizio di “The Entertainer” di Scott Joplin (La stangata, insomma), che in effetti funziona. Ma è stata dura. Ah, alla fine ho deciso che il metodo più semplice per me per cantarla è pensarla come un’appoggiatura sulla dominante e via…

Ultimo aggiornamento: 2026-05-26 15:04
Ah, questa sesta minore
26 maggio, di .mau.
Come sapete, io canto in un coro. Ieri sera abbiamo cominciato a studiare il Magnificat di Vivaldi, e tanto per cambiare ero l’unico basso. Nulla di veramente grave, in genere io leggo a prima vista. Solo che qui dovevo prendere un intervallo ascendente di sesta minore che non mi veniva proprio. Con la sesta maggiore ho il trucco, il “Libiamo” della Traviata; qui nulla. Che faccio, allora? Chiedo a Claude se mi trova un esempio sul canone beatlesiano. Lui mi risponde “certo! Prendi l’inizio di Michelle, Mi-Chelle!” al che gli faccio notare che lì la nota è la stessa. Al limite puoi pensare all’intro di chitarra, ma non è banale. Mi tira fuori anche un brano non beatlesiano che però non conosco. Allora lo presso, dicendogli che tanto se sbaglia me ne accorgo. Risultato: ho rotto Claude. Continuava a dirmi “questa risposta non è stata caricata”; a un certo punto ha persino tirato fuori un improbabile “blocked by filter polict ” e quando gli ho chiesto che razza di filtro avessi toccato la candida risposta è stata “Nessun filtering, scusa — stavo semplicemente girando in tondo tra candidati senza commettermi, il che è peggio che dare una risposta imperfetta.” (Notate il “commettermi”: non credo di aver mai sentito la traslitterazione di commit neppure dai più sfegatati anglofili).
Solo alla fine ha tirato fuori l’inizio di “The Entertainer” di Scott Joplin (La stangata, insomma), che in effetti funziona. Ma è stata dura. Ah, alla fine ho deciso che il metodo più semplice per me per cantarla è pensarla come un’appoggiatura sulla dominante e via…
Siamo proprio costretti ad avere l’IA a scuola?
25 maggio, di .mau.
Chi mi segue sa che non ho pregiudiziali contro l’IA: al limite posso dire che non è intelligenza, ma questo non significa che non abbia una sua utilità, soprattutto da quanto non parte semplicemente dal suo modello interno ma aggiunge in tempo reale quello che trova con una ricerca. Però ci si può chiedere, come ha fatto qui Benjamin Riley, se effettivamente ogni resistenza è inutile ed è inevitabile che scuola debba per forza usarla. Ecco qua una scelta tra le domande che consiglia di fare agli entusiasti:

(1) Cosa vuol dire esattamente “l’IA è qui e ci rimarrà”? Nella slide preparata da Jane Rosenzweig dell’Harvard College Writing Center, lo slogan viene dissezionato. Cosa vuol dire “qui?” In classe? Nel pianeta? Poi, cos’è l’IA? I chatbot? Altri strumenti che non sono IA generativa? Ancora, cosa vuol dire che rimarrà? Chi lo decide? Ma soprattutto, chi è che lo dice? Il guaio di uno slogan è che è facile da ripetere, ma nessuno verifica davvero il suo significato.

(2) Attenzione: troppo uso di IA, secondo alcune ricerche, porta alla resa cognitiva, cosa ben diversa dallo scarico cognitivo. Molti convinti fautori dell’IA nella scuola non hanno idea della differenza enorme tra i due concetti.

(3) In generale, come riportato in questo studio, l’uso dell’IA porta a risultati positivi immediati, ma non pare dare vantaggi a lungo termine.

(4) Sal Khan stesso, uno dei più convinti fautori dell’uso dell’IA per rivoluzionare l’istruzione, ha corretto il tiro, notando come per usarla bene è necessario sapere fare le domande, e quest’abilità manca.

(5) Questa è cattiva: la spinta verso i ragazzi per usare l’IA assomiglia a quella che in passato facevano i produttori di sigarette. L’hype diretto verso chi non ha difese naturali è pericolosissimo.

Personalmente non credo che quello della Svezia, che sta di nuovo tornando al libro cartaceo, sia un vero cambio di rotta; lo vedo più come una scelta di non fossilizzarsi sulla tecnologia ma dare uno sguardo più ampio alle possibilità. Ma penso anche che l’intelligenza artificiale, almeno come è declinata adesso, abbia dei vantaggi solo per i pochi che la sanno davvero usare, e tra questi non ci sono certo gli studenti.