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Niente Carnevale della matematica questo mese
14 maggio, di .mau.
Lo so, è il 14 del mese, non siamo in piena estate, ma oggi il Carnevale della matematica non c’è. La ragione è semplice: questo mese non c’era nessuno che avesse il tempo per raccogliere tutti i contributi e mettere su un post con un minimo di contesto. È stata proposta una soluzione di emergenza (una raccolta con un post per blog), ma dovrebbe essere noto che i matematici sono pigri, e un lavoro subottimale di questo tipo era comunque un lavoro.
A questo punto saltiamo un giro: il 14 giugno prometto che qui sulle Notiziole il Carnevale ci sarà, anche più ricco del solito!
Un’altra approssimazione non-trigonometrica
13 maggio, di .mau.

Dopo quella della scorsa settimana, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo è $\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) è lunga $c$, mentre la corda sottesa da metà dell’angolo (in verde) è lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione

$$ a = rθ ≈ 12 b^2/(c + 4b).$$

L’approssimazione è come sempre migliore per un angolo piccolo, ma è rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\theta = \pi/3$, cioè 60 gradi, e il raggio del cerchio è 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci dà per l’arco $a ≈ 1,\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative è $1,\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!

La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \varphi = \theta/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \cos(\varphi) = c / 2b $ e $ \sin(\varphi) = b / 2r$. Espandendo in serie di potenze,

$$ c / 2b = \cos(\varphi) = 1 − φ^2/2! + \varphi^4/4! − … $$
$$ 2b / a = \sin(\varphi) / \varphi = 1 − \varphi^2/3! + \varphi^4/5! − … $$

Se moltiplichiamo $ 2b / a $ per 3 e sottraiamo $ c / 2b$, i termini $\varphi^2$ si cancellano e resta

$$ 6b / a − c / 2b = 2 − \varphi^4/60 + … $$

da cui

$$ 6b / a − c / 2b ≈ 2 $$

La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 è chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\varphi$ l’errore è minimo.

Un’ultima curiosità: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi è che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.
Tocca rivalutare Uòlter?
12 maggio, di .mau.
Siamo stati in tanti a scrivere dell’intervista di Walter Veltroni a Claude. Però oggettivamente bisogna dare atto che il testo era ben costruito, con un percorso che per chi ha un’idea di come funzionano gli LLM non dice nulla di nuovo ma in astratto ha un senso logico. Sul Corriere abbiamo ben altri esempi.

Già la serie di Rovelli dimostra come forse è meglio che non ci si avventuri in campi che non sono il proprio, ma le cose sono più complicate. Prendiamo l’esempio qui a fianco, che si trovava in prima posizione in alto a destra in homepage, come tutta la nuova rubrica. Cosa vuol dire quella frase? È colpa del titolista? Proviamo a leggere il testo: troviamo frasi come «I treni funzionano solo se sono sincronizzati. Ma la sincronizzazione non è uno stato naturale. È una condizione fragile. Basta poco per romperla. Un ritardo minuscolo all’inizio può propagarsi lungo la linea, amplificarsi, accumularsi. È fisica dei sistemi complessi, non inefficienza umana.» Profondo, vero? Il discorso fila. Peccato che tutto questo sia vero nel caso in cui il sistema (complesso o no che sia) giri a piena capacità. In pratica un qualunque sistema reale dovrebbe avere un polmone che permette di assorbire un (piccolo) ritardo senza interferire col resto del sistema. Poi possiamo dire che ci sono troppi nodi della rete ferroviaria italiana dove in effetti siamo a piena capacità, ma dobbiamo esplicitare questo fatto. Ma abbiamo anche altre frasi interessanti, come «Un minuto di ritardo non vale mai un minuto. Nei sistemi complessi il tempo non si somma, si deforma.» che a me fa subito venire in mente Fritjof Capra e il suo Il Tao della fisica, qualunque cosa voglia dire. Posso solo immaginare che Cairo abbia fatto i suoi conti e capito che articoli come questi portano tanti clic.

Detto tutto questo, devo confessare che io sono davvero invidioso. Non avrei mai avuto l’idea di proporre al principale quotidiano italiano una rubrica dal sottotitolo «La matematica per spiegare (e risolvere) i problemi della vita». Ma a pensarci bene non sarei comunque stato in grado di scrivere a questi livelli.
Anthropic e Google infettano i nostri PC?
11 maggio, di .mau.
In questi giorni avete sicuramente letto del file di 4 gigabyte che Google installa a nostra insaputa sui PC per dare i risultati IA. Ma la storia è più complicata. A metà aprile Alexander Hanff scopre che quando ha installato sul suo Mac Claude Desktop l’app ha silenziosamente aggiunto un trigger che sui principali browser basati su Chromium (praticamente tutti tranne Firefox) permette gli agenti lanciati da Claude di accedere a tutti i tab aperti, compresi quelli degli altri browser: il tutto con gli stessi privilegi dell’utente. Pensate che bello essere collegati (da un altro browser…) al proprio homebanking mentre si sta usando Claude. Il tutto senza chiedere nulla all’utente, e in modo che cancellare quei file è inutile perché al lancio successivo verrebbero comunque ricreati.

Ma questa è solo la punta dell’iceberg. La scorsa settimana Hanff scrive che anche Google fa fondamentalmente la stessa cosa: la differenza è che in questo caso scarica silenziosamente un file di appunto 4 GB, “weights.bin”, che come dice il nome contiene i pesi per il modello LLM locale Gemini Nano. Il file viene scaricato automaticamente, senza alcun avviso, in tutti i PC che hanno le feature IA attive su Chrome – e questo è il default da un bel po’ – e hanno un hardware che lo supporti. Sul pc da cui scrivo il file non c’è, ma questo è per la banale ragione che non ho Chrome installato: i browser che uso sono Firefox e Vivaldi. Come nel caso di Anthropic, cancellare il file non serve: verrebbe di nuovo scaricato al prossimo giro. Gli unici modi per farlo fuori sono disinstallare Chrome oppure togliere le AI features da chrome://flags oppure dalla gestione aziendale delle macchine.

Penso che sia inutile far notare la pericolosità di questi file inseriti a nostra insaputa nei computer che usiamo. Provate a immaginare cosa succederebbe se qualcuno trovasse il modo di modificare quei file e ottenere del malware: oltre ai possibili miliardi di PC infettati, il fatto stesso di non sapere che il nostro PC li contiene li rende ancora più difficili da estirpare. Quello che non capisco è la necessità di pompare così tanto l’IA: Anthropic e Google vogliono che la gente non ne possa più fare a meno?
Quizzino della domenica: Prodotto delle cifre
10 maggio, di .mau.
799 – algebretta

Qual è il più piccolo numero naturale per cui il prodotto delle sue cifre è 29400? Il numero è ovviamente scritto in base 10.

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p799.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Robert Geretschläger e Gottfried Perz, Mathematical Nuggets From Austria.)