• AgoraVox su Twitter
  • RSS
  • Agoravox Mobile

 Home page > Tribuna Libera > Una costruzione dei Numeri Naturali e dei Reali

Una costruzione dei Numeri Naturali e dei Reali

 

  • NUMERI NATURALI

I numeri naturali, i mattoni fondamentali dell’aritmetica di base insegnata sin dalle scuole elementari, hanno storicamente incontrato diverse difficoltà di definizione.

Gli Assiomi di Peano (si veda Dimostrazioni ed il principio di Induzione per gli Assiomi) definiscono assiomaticamente l’insieme dei numeri naturali ed impongono le necessarie condizioni che qualsiasi definizione matematica dei naturali deve soddisfare.

Si può procedere a definire i numerali naturali per via insiemistica; la costruzione alla Von Neumann, datata 1923, definisce ogni numero naturale n come una classe di insiemi con cardinalità finita.

Ricorsivamente la costruzione alla Von Neumann si scrive come n+1=n+n

Quindi definendo |∅|=0

0 = Ø

0:=

Seguendo la definizione ricorsiva:

  • 0 = 
  • 1 = 0 =
  • 2 = 0,1 = 0, 0 = ,
  • 3 = 0,1,2 = 0, 0, 0, 0

    = , , ,

Dato che in generale n=0,…,n-1 la cardinalità |n|=n, m<n⇔m∈n e m≤n⇔m ⊆ n e data la validità degli assiomi di Peano concludiamo che n= ℕ.

La costruzione dei numeri naturali secondo Zermelo, datata 1908, si definisce:

0 = Ø      n+1=n

  • 0 =
  • 1 = 0 =
  • 2 = 1 =

    , …

In ℕ possiamo ben definire le operazioni + (somma) e x (prodotto) in maniera ben definita, entrambe operazioni commutative ed associative con elemento neutro, rispettivamente, 0 e 1. La sottrazione e la divisione non sono operazioni ben definite in ℕ in quanto, per la prima dovremmo avere,teoricamente,:

-:ℕ xℕ →ℕ    (a,b)→a-b per ogni a,b∈ℕ

  • – non è ben definita in ℕ (quindi non è un’operazione interna all’insieme) dato che ponendo a=2 e b=4 otteniamo a-b= -2∉ℕ. Affinché sia un’operazione dell’insieme il risultato finale deve ancora appartenere all’insieme di partenza, cosa non verificata per la nostra operazione -.

Per la divisione otteniamo lo stesso risultato in quanto otteniamo un numero razionale che può non appartiene ai naturali.

  • NUMERI REALI

Costruiamo i numeri reali,definiti assiomaticamente come l’unico campo ordinato (*) completo archimedeo (**), in maniera insiemistica con le sezioni di Dedekind (1872).

Partendo dal presupposto, che i numeri reali comprendono i naturali, gli interi e i razionali(si possono definire, i primi, dai naturali secondo la definizione di Dedekind tramite le relazioni di equivalenza,si possono definire, i secondi, dagli interi secondo la definizione di Weber,1895, tramite le relazioni di equivalenza) e gli irrazionali. Avendo definito i naturali, gli interi e i razionali possiamo pensare che ogni numeri irrazionale x suddivida Q in due parti che chiamiamo Ldx e Lsx:

Lsx lo definiamo come Lsx=r∈Q: r<x e Ldx=s∈Q: x<s

SnapCrab_NoName_2018-2-14_18-58-7_No-00.png

SnapCrab_NoName_2018-2-14_18-58-14_No-00.png

Lsx e Ldx

Visto che la coppia ordinata (Lsx,Ldx) determina univocamente il numero irrazionale x e che l’unione disgiunta di Lsx e Ldx mi fornisce l’insieme dei razionali Q, una sezione di Dedekind (Lsx – Ldx come d’esempio) è definita come una L⊆Q tale che:

P1. L ≠Ø ≠ Q\L

P2. ∀r,r’∈Q(r≤r’∈L ⇒r∈L)

P3. ∀r∈L ∃r’∈L(r<r’)

Definiremo così l’insieme dei Reali, ℜ=L∈P(Q) : P1,P2,P3.

Dove P(Q) è l’insieme delle parti, l’insieme potenza di Q ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Q.

Per esempio il numero irrazionale √nella costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind lo si identifica come la coppia (A,B).

{\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2\lor a\leq 0\},}

{\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2\land b>0\}.}

Note

(*)Un campo K è detto ordinato se è presente una relazione d’ordine stretto <

  • irriflessiva a < a per ogni a∈K;
  • transitiva a<b \land  b<c ⇒ a<c per ogni a,b,c∈K;
  • lineare (totale): a≠b ⇒ a<b v b<a per ogni a,b∈K.

(**) Un campo K è detto archimedeo se e solo se per ogni x che appartiene a K

∀x>0 ∃y∈ℕ\0(1/y<x)

 

Questo articolo è stato pubblicato qui

Lasciare un commento

Per commentare registrati al sito in alto a destra di questa pagina

Se non sei registrato puoi farlo qui


Sostieni la Fondazione AgoraVox


Pubblicità




Pubblicità



Palmares

Pubblicità